2.3 点、直线、平面的投影          

    在前面已研究了物体与视图之间的对应关系，但为了迅速而准确地表达空间形体，就必须进一步研究构成形体的最基本的几何元素（点、线、面）的投影规律。

2.3.1  点的投影

2.3.1.1  点的三面投影

    如图2-7所示，由空间点A分别作垂直于H、V和W的投射线，其垂足a、a′ 、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影。本书规定，空间点用大写字母如A、B表示，水平投影用相应的小写字母表示，正面投影用相应小写字母加一撇表示，侧面投影用相应小写字母加两撇表示。a称为点A的水平投影；a′ 称为点A的正面投影；a″ 称为点A的侧面投影。

2.3.1.2  点的投影规律

    从图2-7中可以看出空间点A在三投影面体系中有唯一确定的一组投影（a，a′，a″ ），反之如已知点A的三面投影即可确定点A的坐标值，也就确定了其空间位置。因此可以得出点的

图2-7  点的三面投影

    投影规律：

（1）点的V面与H面的投影连线垂直于OX轴，即a′ a⊥OX。

    这两个投影都反映空间点到W面的距离即X坐标：a′aZ=aaYH=XA 。

（2）点的V面与W面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

    这两个投影都反映空间点到H面的距离即Z坐标：a′aX=a″aYW=ZA 。

（3）点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离。

    这两个投影都反映空间点到V面的距离即Y坐标：aaX=a″aZ=YA 。

    实际上，上述点的投影规律也体现了三视图的“长对正、高平齐、宽相等”。

作图时，为了表示aaX=a″ aZ的关系，常用过原点O的45°辅助线把点的H面与W面投影关系联系起来，如图2-7(c)所示。

    点的三个坐标值（x，y，z）分别反映了点到W、V、H面之间的距离。根据点的投影规律，可由点的坐标画出三面投影，也可根据点的两个投影作出第三投影。

    例2.1  已知点A的两面投影和点B的坐标为（25，20，30），求点A的第三面投影及点B的三面投影（见图2-8(a)）。

    解（1）求A点的侧面投影

    先过原点O作45°辅助线。过a作∥OX轴的直线与45°辅助线相交于一点，过交点作⊥OYW的直线，该直线与过a′平行于OX轴的直线相交于一点即为所求侧面投影a″。

    （2）求B点的三面投影

图2-8  求作点的投影

    在OX轴取ObX =25 mm，得点bX,过bX作OX轴的垂线，取b′bX=30 mm，得点b′，取bbX=20 mm，得点b；同求A点的侧面投影一样，可求得点B的侧面投影b″。答案见图2-8（b）。

2.3.1.3  重影点及两点的相对位置

    若空间两点的某一投影重合在一起，则这两点称为对该投影面的重影点。如图2-9所示，在三棱柱上两点A、C为H面的重影点。重影点的可见性由两点的相对位置判别，对V面、H面和W面的重影点分别为前遮后、上遮下、左遮右，不可见点的投影字母加括号表示。

图2-9  重影点及两点相对位置

    空间点的相对位置，可以在三面投影中直接反映出来，如图2-9（b）所示，在三棱柱上的两点A、B，在V面上反映两点上下、左右关系，H面上反映两点左右、前后关系，W面上反映两点上下、前后关系。

2.3.2  直线的投影

2.3.2.1  一般位置直线及直线上点的投影

    直线的投影一般仍为直线。由几何学知道，空间两点决定一直线，因此要作直线的投影，只需作出直线段上两点的投影（两点在同一投影

    面上的投影称为同面投影），如图2-10所示。

图2-10  直线及直线上点的投影

    一般位置直线对三个投影面都倾斜，其三面投影仍为直线。直线对H、V、W面的倾角用α、β、γ来表示，则ab=ABcosα＜AB，a′b′＝ABcosβ＜AB,a″b″＝ABcos γ＜AB。

    点在直线上，由正投影的基本性质可知，应有下列投影特性：

（1）点的投影必在直线的同面投影上（从属性）。如图2-10所示，在直线AB上有一点M，点M的三面投影m、m′、m″分别在直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。

（2）点分线段之比等于其投影之比（定比性）。如图2-10，点M分AB成AM和BM，有AM∶BM=am∶bm=a′m′∶b′m′=a″m″∶b″m″。

图2-11  求直线上点的投影

例2.2   如图2-11（a）所示，已知点C分 AB为AC∶BC=3∶2，求点C的投影。

     解  分析：根据直线上点的投影特性，可将AB的任一投影分成3∶2，求得点C的一个投影，利用从属性，求出点C的另一投影。作图步骤如下（见图2-11（b））：

    (1) 过a作任意直线，并截取5 个单位长度，并连接线5b；

    (2) 过3作5b的平行线，交ab 于c；

    (3) 由c作投影连线，交a′ b′ 于点c′。 

2.3.2.2  特殊位置直线的投影特性

    投影平行线    正平线：∥V，∠H、W

    (仅平行于某个投影面)   水平线：∥H，∠V、W

    特殊位置直线    侧平线：∥W，∠V、H

    投影面垂直线    正垂线：⊥V,∥H、W

    （垂直于某个投影面） 铅垂线：⊥H，∥V、W

    侧垂线：⊥W，∥V、H

（1) 投影面平行线的投影投影面平行线的投影特性（正平线、水平线、侧平线）见表2-3。

表2-3  投影面平行线的投影