振幅，而当|x|>1时正阻尼有助于减小振幅，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。

令

则上式可以用两个一阶微分方程来代替，记为式(1)：

显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵

它导致特征方程

有根

当μ>2时根λ1与λ2都是正实数，所以原点是不稳定结点。另一方面，当μ<2时根λ1与λ2是具有正实部的共轭复数，所以这个原点是不稳定焦点。不管怎么样，原点是不稳定平衡点，而在它邻域内开始的任何运动趋向于离开这个邻域而达到极限环。

为得到轨迹的方程，把式(1)的第二式除以第一式，结果有

要求得上式的一个封闭解是不可能的。

轨线可以用某种图解方法来求得，例如用等倾线法，或者用计算机摸拟。图3给出了对μ=0.2和μ=1.0的值用计算机摸拟求得的极限环。

图3 van der Pol方程仿真结果

从图3显然可见极限环的形状决定于参数μ。事实上，当μ→0极限环趋于一个圆。因为所有轨迹不论从外面或从里面都趋近于极限环，所以这极限环是稳定的。

注意到，当μ<0时得到的是一个不稳定极限环，而这个极限环是轨道不稳定的；当μ>0时则是轨道渐近稳定的。

可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平衡点，而一个不稳定极