离散频谱校正理论和技术，不知道大家对这个名词熟不熟悉。近来在声振论坛上看到一些帖子讨论为何经FFT得到的幅值、频率和相位不准的。

其实前面我也发过一篇介绍离散频谱校正的综述性的文章，可能大家都忙，没时间去看，呵呵，这里我就我的理解，把离散频谱分析的误差来源和校正方法做个简单的介绍。

离散频谱分析的误差产生的原因主要来自两方面，一方面是由于时域加窗截断产生的频域连续化，另一方面是由于计算机只能对有限的离散的频率进行计算，也即是频域离散化的结果。

其中，加窗截断的影响使一个无穷长单频率信号在频域对应的一根谱线，变成一个连续谱，以加矩形窗为例，则是变成一个sinc型函数的形状，其峰值对应的频率即为单频信号的频率。但是由于频域的离散化，我们用FFT计算的频率一般都不会刚好会落在峰值处，这就是我们平时常说的泄露，这时我们就只能把计算得到的峰值谱线对应的频率做为估计的频率，如果以频率分辨率fs/N做归一 (即把频率分辨率看成1)的话，这个估计的频率的最大绝对值误差就是0.5，而幅值误差则依赖于加的窗的类型，由于矩形窗主瓣宽度为2，频谱开状较尖，幅值误差也就大。至于相位的最大误差则会相应的达到正负90度，已经完全不能用了。

离散频谱校正就是针对这种误差提出的各种校正出实际的频率、幅值和相位的一门理论和技术。国内现在比较常用的方法有比值(插值)法、能量重心法、FFT FT法和相位差法，都有其各自的特点和优缺点。这里我给出一个比值校正法的程序供大家一起研究下。

当然，对于多频率成分的信号来说，离散频谱分析的另一个误差是来自于频率之间的相互干涉，这也是由于泄露所引起的，这个误差则主要靠加窗抑制旁瓣和减小频率分辨率、拉大频率间的距离(可通过ZFFT实现)来尽量减小。

%SpectrumCorrect_Test.m

close all;

clear all;

clc;

fs=1024;

N=1024;

t=(0:N-1)/fs;

x=4*cos(2*pi*80*t 30*pi/180) 3*cos(2*pi*150.232*t 80*pi/180) 1*cos(2*pi*253.5453*t 240*pi/180);

xf=fft(x);

xf=xf(1:N/2)/N*2;

XfCorrect=SpectrumCorrect(xf,3,1);

XfCorrect(:,1)=XfCorrect(:,1)*fs/N;

XfCorrect

w=hann(N,'periodic');

xfw=fft(x.*w');

xfw=xfw(1:N/2)/N*4;

XfCorrectW=SpectrumCorrect(xfw,3,2);

XfCorrectW(:,1)=XfCorrectW(:,1)*fs/N;

XfCorrectW

%离散频谱比值校正法

%by yangzj 2007.4.28

%

%xf为FFT后的复数谱

%CorrectNum为校正的谱线条数

%即校正最大的CorrectNum条

%WindowType为加窗类型

%1为矩形窗，2为Hanning窗

%

%SpectrumCorrect.m

function XfCorrect=SpectrumCorrect(xf,CorrectNum,WindowType)

XfCorrect=zeros(CorrectNum,3);

for i=1:CorrectNum

A=abs(xf);

[Amax,index]=max(A);

phmax=angle(xf(index));

%比值法

%加矩形窗

if (WindowType==1)

indsecL=A(index-1)>A(index 1);

df=indsecL.*A(index-1)./(Amax A(index-1))-(1-indsecL).*A(index 1)./(Amax A(index 1));

XfCorrect(i,1)=index-1-df;

XfCorrect(i,2)=Amax/sinc(df);

XfCorrect(i,3)=(phmax pi*df)*180/pi;

xf(index-2:index 2)=zeros(1,5);

end

%比值法

%加Hanning窗

if (WindowType==2)

indsecL=A(index-1)>A(index 1);

df=indsecL.*(2*A(index-1)-Amax)./(Amax A(index-1))-(1-indsecL).*(2*A(index 1)-Amax)./(Amax A(index 1));

XfCorrect(i,1)=index-1-df;

XfCorrect(i,2)=(1-df^2)*Amax/sinc(df);

XfCorrect(i,3)=(phmax pi*df)*180/pi;

xf(index-4:index 4)=zeros(1,9);

end

XfCorrect(i,3)=mod(XfCorrect(i,3),360);

XfCorrect(i,3)=XfCorrect(i,3)-(XfCorrect(i,3)>180)*360;

end

运行结果：

XfCorrect =

80.0014 4.0016 29.8261

150.2333 2.9981 79.7127

253.5397 0.9996 -118.7272

XfCorrectW =

80.0000 4.0000 30.0000

150.2320 3.0000 80.0000

253.5453 1.0000 -120.0002

本文由声振论坛会员yangzj原创，