5库仑阻尼

库仑阻尼模型描述来自于常压力下的两个干滑动表面之间的干摩擦。在工程实际中，该阻尼模型经常被用来表示被铆接或栓接的两个结构单元之间的摩擦，有库仑定律：

其中，fd为库仑阻尼力，μ为摩擦系数，N为正压力。许多文献中还给出了由位移峰值的绝对值表示的库仑阻尼力的形式：

其中，k为振动体系的刚度，x1及x2分别为相位差为π的位移峰值的绝对值。对于库仑阻尼模型，其位移曲线相差2π的两个峰值点的衰减规律为线性关系。

6比例及非比例阻尼

比例阻尼模型的出现完全是为了数学计算的方便。在求解多自由度系统运动方程时，由于质量和刚度矩阵均具有带权正交性，故质量和刚度矩阵可以对角化。但阻尼矩阵一般情况下不具有这种正交性，因此，它不能对角化。在这种情况下，多自由度体系运动方程不能解耦成单自由度体系运动方程求解。

为了使阻尼矩阵也可以解耦，Rayleigh首先提出了比例阻尼模型。Rayleigh阻尼理论认为，阻尼矩阵C可以表示为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合。即：

其中，α、β均为比例常数。当α=0时，阻尼矩阵为C=βK为刚度比例阻尼；当β=0时，阻尼矩阵为C=αM为质量比例阻尼。

显然，利用固有振型的带权正交性，Rayleigh阻尼矩阵可以很方便地与质量矩阵及刚度矩阵同时对角化。从而，n自由度体系运动方程可以解耦为n个独立的单自由度体系运动方程，进而可以按单自由度体系运动方程进行求解。最后，再利用振型叠加法，将单自由度体系运动方程的解组合成多自由度体系运动方程的解。

由于给多自由度体系的计算带来很大方便，这种阻尼模型至今仍被广泛用于实际工程结构的多自由度体系振动反应分析中。然而，只有一少部分阻尼现象符合这种阻尼模型，大量实验表明这种模型与结构的阻尼比测量结果在许多情况下不符。系数α、β与粘性振型阻尼比的关系为：

由上可以看出，利用Rayleigh阻尼模型，高振型将导致过阻尼现象，这与实际不符。Caughey等人在Rayleigh阻尼研究的基础上，首先提出比例阻尼的精确定义，并给出比例阻尼系统判定准则。若阻尼矩阵可以正交化为对角矩阵，该阻尼为正交阻尼或比例阻尼，否则称为非比例阻尼。符合Caughey比例阻尼准则的阻尼为比例阻尼。后来，Clough等人给出了比例阻尼的更一般的判别准则。

7粘弹性阻尼

振动控制领域研究粘弹性阻尼器时，许多学者用粘弹性阻尼模型来描述阻尼器中使用的特殊的粘弹性材料特性。这种材料既可作为能量吸收器，又可作为能量恢复器，其粘弹性与应变的频率及温度有关。若设材料的应变为γ=γ0sinωt，应力为σ，则有：

其中，ks(ω)为存储刚度，ki(ω)为损失刚度。

由于结构体系往往是由不同材科构成的（如现代悬索桥），各种材料阻尼特性不同，为了反映结构整体综合效应，有人以某种典型阻尼模型(如粘性阻尼)为基础，对不同材料的阻尼分别进行计算分析，再通过一定原则对所求阻尼值进行加权，而后对结构总体阻尼效果进行分析计算，并将这样计算所得阻尼力称为非典型阻尼力。文献中将这种由结构的各个部件计算结构整体阻尼的算法用在悬索桥的抗震设计计算上。

本文内容摘录整理自中国地震局工程力学研究所博士学位论文《结构阻尼体系地震反应分析方法的研究》，作者：朱敏，指导老师：朱镜清教授。